Question

偶函數f（x）在（-∞，0）上是增函數，問它在（0，+∞）是增函數還是減函數？能否用函數單調性的定義證明你的結論？

Answer 1

分析：直接利用偶函數的性質：在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反即可得出其在（0，+∞）上的單調性；再利用函數單調性的定義證明結論即可．

解答：解：因為偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反；
且f（x）在（-∞，0）上是增函數，
故f（x）在（0，+∞）是減函數．
證明如下：若0＜x₁＜x₂＜+∞，那么-∞＜-x₂＜-x₁＜0．
由于偶函數在（-∞，0）上是增函數，故有：f（-x₂）＜f（-x₁）
又根據偶函數的性質可得：f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
綜上可得：f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是減函數

點評：本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合問題．這一類型題目，主要是考查偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反，而奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同這一結論．