Question

已知函數(shù)f(x)=

(a-2)x，x≥2，  ( 1 2 )x-1， x＜2

滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A．（-∞，2）
• B．(-∞，

  13

  8

  ]
• C．（-∞，2]
• D．[

  13

  8

  ，2)

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分段函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)．因?yàn)楫?dāng)x＜2時(shí)，f（x）=（

1

2

）^x-1是減函數(shù)，所以當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)f（x）=（a-2）x也為減函數(shù)，可得a＜2．同時(shí)還需滿足：在x=2處，指數(shù)式的取值大于或等于一次式的取值，解之得a≤

13

8

，最后綜合可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，
∴當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），可得函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)
因此，①當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)f（x）=（a-2）x為一次函數(shù)且為減函數(shù)，有a＜2…（*）；
②當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=（

1

2

）^x-1也是減函數(shù)．
同時(shí)，還需滿足：2（a-2）≤（

1

2

）²-1，解之得a≤

13

8

，再結(jié)合（*）可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是：(-∞，

13

8

]
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題以分段函數(shù)為例，在已知函數(shù)的單調(diào)性的情況下求參數(shù)的取值范圍，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明的知識(shí)，屬于中檔題．