Question

將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，若點P滿足

BP

=

1

2

BA

-

1

2

BC

+

BD

，則|

BP

|的值為（　　）

• A、

  3

  2

• B、2
• C、

  10- 2

  4

• D、

  9

  4

Answer 1

考點：向量在幾何中的應用

專題：平面向量及應用

分析：將向量

BA

，

BC

，

BD

看成基底，然后將向量

BP

用基底表示出來，利用求模的方法直接計算即可．

解答： 解：如圖，取BD的中點O，連接OA，OC，易知OC⊥BD，OA⊥BD．
因為正方形ABCD，結合已知得∠CBO=∠ABO=45°，易求得BA=AC=CB=1．BD=

2

．
所以△ABC是等邊△．所以∠CBA=60°．
所以

BP

=

1

2

BA

-

1

2

BC

+

BD

=

1

2

(

BA

-

BC

)+

BD

=

1

2

CA

+

BD

，
由正方體的性質可知，BD⊥CO，BD⊥AO，故BD⊥面ACO，所以AC⊥BD．
所以|

BP

|2=|

1

2

CA

+

BD

|2=(

1

2

CA

+

BD

)2
=

1

4

CA

2+

BD

2+

CA

•

BD

=

1

4

×1+2+0=

9

4

．
故|

BP

|=

3

2

．
故選A

點評：本題考查了平面向量在解決幾何問題中的應用，強調基底意識與化歸思想．屬于中檔題．