Question

7．設(shè){a_n}是等比數(shù)列，公比q=2，S_n為{a_n}的前n項和，記T_n=$\frac{17{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$，（n∈N^*），設(shè)T${\;}_{{n}_{0}}$為數(shù)列{T_n}的最大項，則n₀=（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 首先用公比q和a₁分別表示出S_n和S_2n，代入T_n易得到T_n的表達式，再根據(jù)基本不等式得出n．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列的首項為a₁，則a_n=a₁2^n-1，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{n}）}{1-2}={a}_{1}（{2}^{n}-1）$，
∴T_n=$\frac{17{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{17{a}_{1}（{2}^{n}-1）-{a}_{1}（{2}^{2n}-1）}{{a}_{1}{2}^{n}}$=$\frac{17×{2}^{n}-{2}^{2n}-16}{{2}^{n}}$
=17-（${2}^{n}+\frac{16}{{2}^{n}}$）≤$17-2\sqrt{{2}^{n}•\frac{16}{{2}^{n}}}=9$．
當(dāng)且僅當(dāng)${2}^{n}=\frac{16}{{2}^{n}}$，即n=2時上式等號成立．
∴n₀=2．
故選：A．

點評 本題考查了等比數(shù)列的前n項和公式與通項及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題．