Question

給出下列命題：
①常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
②A，B是△ABC的內(nèi)角，且A＞B，則sinA＞sinB；
③在數(shù)列{a_n}中，如果n前項和S_n=2n²+4n+1，則此數(shù)列是一個公差為4的等差數(shù)列；
④O是△ABC所在平面上一定點，動點P滿足：

Op

=

OA

+λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

），λ∈（0，+∞0），則直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心
⑤{a_n}是等比數(shù)列，S_n為其前n項和，則S₃，S₆-S₃，S₉-S₆成等比數(shù)列．
則上述命題中正確的有

 

 （填上所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：常數(shù)列一定是等差數(shù)列，不一定是等比數(shù)列；A，B是△ABC的內(nèi)角，且A＞B，則sinA＞sinB；在數(shù)列{a_n}中，如果n前項和S_n=2n²+4n+1，則此數(shù)列從第二項開始是一個公差為4的等差數(shù)列；直線AP是角A的平分線，一定通過△ABC的內(nèi)心；由等比數(shù)列的性質(zhì)知S₃，S₆-S₃，S₉-S₆成等比數(shù)列．

解答： 解：在①中，常數(shù)列一定是等差數(shù)列，不一定是等比數(shù)列，
比如0構(gòu)成的常數(shù)列就不是等比數(shù)列，故①錯誤；…①
在②中，已知A＞B若0°＜A，B≤90°，則sinA＞sinB；
若A，B中有一個大于90°（不妨設(shè)為A）
則A＞B，又∵A，B為三角形內(nèi)角，∴A+B＜180°，
即180°-A＞B，則sinA=sin（180°-A）＞sinB，
綜上所述，A，B是△ABC的內(nèi)角，且A＞B，則sinA＞sinB，故②正確；…②
在③中，在數(shù)列{a_n}中，如果n前項和S_n=2n²+4n+1，
則此數(shù)列從第二項開始是一個公差為4的等差數(shù)列，故③錯誤；…③
在④中，O是△ABC所在平面上一定點，
動點P滿足：

Op

=

OA

+λ（

AB

sinC

+

AC

sinB

），λ∈（0，+∞0），
則直線AP是角A的平分線，故AP一定通過△ABC的內(nèi)心，故④正確；…④
在⑤中，{a_n}是等比數(shù)列，S_n為其前n項和，
則由等比數(shù)列的性質(zhì)知S₃，S₆-S₃，S₉-S₆成等比數(shù)列，故⑤正確…⑤
故答案為：②④⑤．

點評：本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)列、三角函數(shù)、三角形五心等知識點的合理運用．