Question

13．已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，f（0）=$\frac{1}{2}$，則g（x）=2cos（ωx+φ）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用弦函數(shù)的圖象特征，余弦函數(shù)的周期性求得ω，再根據(jù)f（0）=$\frac{1}{2}$，求得φ，可得g（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）=2cos（ωx+φ）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值．

解答 解：∵f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）．
∵f（0）=sinφ=$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
則g（x）=2cos（ωx+φ）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$ ）．
在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時(shí)，g（x）取得最大值為$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要余弦函數(shù)的圖象特征，余弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．