Question

13．已知等差數列{a_n}，a₁=-ll，公差d≠0，且a₂，a₅，a₆成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=|a_n|，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用等差數列的通項公式和等比數列的中項的性質，列方程解方程可得公差，進而得到所求通項公式；
（2）由數列{a_n}的通項公式，可得等差數列中項的正負，運用等差數列的求和公式，分類討論即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁=-ll，公差d≠0，且a₂，a₅，a₆成等比數列．
可得a₅²=a₂a₆，
即為（-11+4d）²=（-11+d）（-11+5d），
解方程可得d=2，
則數列{a_n}的通項公式為a_n=-11+2（n-1）=2n-13；
（2）設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，
則S_n=$\frac{1}{2}$n（a₁+a_n）=$\frac{1}{2}$n（2n-24）=n²-12n，
由a_n=2n-13，當n≤6時，a_n＜0，當n≥7時，a_n＞0．
b_n=|a_n|，數列{b_n}的前n項和T_n．
即有當n≤6時，前n項和T_n=-S_n=12n-n²；
當n≥7時，前n項和T_n=S_n-S₆-S₆=n²-12n-2×（-36）=n²-12n+72．
綜上可得，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{12n-{n}^{2}，n≤6，n∈N*}\\{{n}^{2}-12n+72，n≥7，n∈N*}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數列的通項公式和求和公式，和等比數列的中項的性質的運用，考查分類討論的思想方法，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．