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3.已知f(x)是定義在R上且以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x2.那么,當(dāng)1≤x≤2時,f(x)=(x-2)2;若直線y=x+a與曲線y=f(x)恰有兩個公共點,則實數(shù)a的值是a=2k或a=2k14kZ

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性先求出在一個周期[-1,1]內(nèi)的表達式,作出函數(shù)f(x)與直線y=x+a的圖象,根據(jù)兩個函數(shù)恰好有2個不同的交點,利用數(shù)形結(jié)合建立不等式關(guān)系進行求解.

解答 解:∵函數(shù)是偶函數(shù),且當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x2
∴當(dāng)-1≤x≤0時,0≤-x≤1
∴f(-x)=(-x)2
又∵f(x)是偶函數(shù)
∴f(-x)=f(x)
∴當(dāng)-1≤x≤0時,f(x)=x2
∴當(dāng)-1≤x≤1時,f(x)=x2
又∵函數(shù)f(x)的周期為2,
∴當(dāng)1≤x≤2時,當(dāng)-1≤x-2≤0,
即f(x)=f(x-2)=(x-2)2;
作出函數(shù)f(x)與y=x+a的圖象如圖:

∴直線y=x+a與曲線y=f(x)恰有兩個交點,有兩種情況
①當(dāng)直線過(0,0)和點(1,1)時,直線y=x+a與曲線y=f(x)恰有兩個交點
∴a=0
由周期性的a=2k(k∈Z)
②當(dāng)直線與曲線相切時:當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x2
{y=x2y=x+a
∴x2-x-a=0
由題意知△=1+4a=0
a=14
由周期性知a=2k14(k∈Z)
∴a=2k或a=2k14kZ,
故答案為:(x-2)2;  a=2k或a=2k14kZ

點評 本題主要考查根的個數(shù)的應(yīng)用,考查了函數(shù)的周期性、奇偶性、根的存在性及根的個數(shù)判斷,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

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