分析 (Ⅰ)通過t=0可知an+1=an22,進(jìn)而取對數(shù)、變形可知lnan+1-ln2=2(lnan-ln2),計(jì)算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過a1=1可知an+1=an2an+2且an>0,放縮即得2a1a1+2+4a2a2+2+…+2nanan+2≥23,利用an+1-an=−2anan+2<0可知數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,進(jìn)而可知an+1≤13an,即an≤13n−1,利用an+1-an=-2anan+2轉(zhuǎn)化、相加即得結(jié)論.
解答 證明:(Ⅰ)若t=0,則an+1=an22,
由a1=1可知an>0,
從而lnan+1=2lnan-ln2,
從而lnan+1-ln2=2(lnan-ln2),即lnan+12=2lnan2,
又∵lna12=ln2-1,
∴數(shù)列{lnan2}是首項(xiàng)為ln2-1、公比為2的等比數(shù)列,
∴l(xiāng)nan2=2n-1ln2-1=ln2−2n−1,即an=21−2n−1;
(Ⅱ)首先,由a1=1,an+1=an2an+2,可知an>0,
則:2a1a1+2+4a2a2+2+…+2nanan+2≥2a1a1+2=23,
∵an+1-an=−2anan+2<0,
∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,
∴an+1an=anan+2=1-2an+2≤1-2a1+2=13,即an+1≤13an,
∴an≤13n−1a1=13n−1,
又∵an+1-an=an2an+2-an=-2anan+2,
∴2a1a1+2+4a2a2+2+…+2nanan+2=(a1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+n(an-an+1)
=a1+a2+a3+a4+…+an-nan+1
<1+13+132+…+13n−1=1−13n1−13<32,
綜上所述:23≤2a1a1+2+4a2a2+2+6a3a3+2+…+2nanan+2<32.
點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題,考查轉(zhuǎn)化思想,考查放縮法,考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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等級(jí) | 喜歡 | 一般 | 不喜歡 |
頻數(shù) | 15 | x | 5 |
等級(jí) | 喜歡 | 一般 | 不喜歡 |
頻數(shù) | 15 | 3 | y |
男性 | 女性 | 總計(jì) | |
喜歡 | |||
非喜歡 | |||
總計(jì) |
P( K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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