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15.已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=a2ntan+2
(Ⅰ)若t=0,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若t=1,求證:232a1a1+2+4a2a2+2+6a3a3+2++2nanan+232

分析 (Ⅰ)通過t=0可知an+1=an22,進(jìn)而取對數(shù)、變形可知lnan+1-ln2=2(lnan-ln2),計(jì)算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過a1=1可知an+1=an2an+2且an>0,放縮即得2a1a1+2+4a2a2+2+…+2nanan+223,利用an+1-an=2anan+2<0可知數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,進(jìn)而可知an+113an,即an13n1,利用an+1-an=-2anan+2轉(zhuǎn)化、相加即得結(jié)論.

解答 證明:(Ⅰ)若t=0,則an+1=an22,
由a1=1可知an>0,
從而lnan+1=2lnan-ln2,
從而lnan+1-ln2=2(lnan-ln2),即lnan+12=2lnan2,
又∵lna12=ln2-1
∴數(shù)列{lnan2}是首項(xiàng)為ln2-1、公比為2的等比數(shù)列,
∴l(xiāng)nan2=2n-1ln2-1=ln22n1,即an=212n1;
(Ⅱ)首先,由a1=1,an+1=an2an+2,可知an>0,
則:2a1a1+2+4a2a2+2+…+2nanan+22a1a1+2=23
∵an+1-an=2anan+2<0,
∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,
an+1an=anan+2=1-2an+2≤1-2a1+2=13,即an+113an,
∴an13n1a1=13n1,
又∵an+1-an=an2an+2-an=-2anan+2
2a1a1+2+4a2a2+2+…+2nanan+2=(a1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+n(an-an+1
=a1+a2+a3+a4+…+an-nan+1
<1+13+132+…+13n1=113n11332,
綜上所述:232a1a1+2+4a2a2+2+6a3a3+2++2nanan+232

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題,考查轉(zhuǎn)化思想,考查放縮法,考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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表1:男性
等級(jí)喜歡一般不喜歡
頻數(shù)15x5
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等級(jí)喜歡一般不喜歡
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男性女性總計(jì)
喜歡
非喜歡
總計(jì)
(Ⅱ)從表一“一般”與表二“不喜歡”的人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行交談,求所選2人中至少有一人“不喜歡”的概率.
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臨界值表:
P( K2≥k00.100.050.01
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