Question

（本題滿分5分）已知函數的圖象過點（—1，—6），且函數 的圖象關于y軸對稱。  （1）求m、n的值及函數y=f(x)的單調區(qū)間；（2）若a＞0，求函數y=f(x)在區(qū)間（a-1,a+1）內的極值.    

Answer 1

(Ⅰ)m=-3, n=0單調遞減區(qū)間是（0，2） (Ⅱ) ：當0<a<1時，f(x)有極大值－2，無極小值，當1<a<3時，f(x)有極小值－6，極大值；當a=1或a≥3時，f(x)無極值   

（I）由函數f(x)圖象過點（－1，－6），得m-n="-3," …………①…………1分
由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,
則g(x)=f′(x)+6x=3x²+(2m+6)x+n;
而g(x)圖象關于y軸對稱，所以－＝0，所以m=-3,………………3分
代入①得n=0……………………5分
于是f′(x)＝3x²-6x=3x(x-2).
由f′(x)>得x>2或x<0,
故f(x)的單調遞增區(qū)間是（－∞，0），（2，＋∞）；……………………6分
由f′(x)<0得0<x<2,
故f(x)的單調遞減區(qū)間是（0，2）……………………6分
（II）由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),  令f′(x)＝0得x=0或x=2.
當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

X	(-∞.0)	0	(0,2)	2	(2,+ ∞)
f′(x)	+	0	－	0	＋
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

由此可得：
當0<a<1時，f(x)在（a-1,a+1）內有極大值f(O)=-2,無極小值；…………9分
當a=1時，f(x)在（a-1,a+1）內無極值；………………11分
當1<a<3時，f(x)在（a-1,a+1）內有極小值f(2)＝－6，無極大值；…………13分
當a≥3時，f(x)在（a-1,a+1）內無極值………………15分
綜上得：當0<a<1時，f(x)有極大值－2，無極小值，當1<a<3時，f(x)有極小值－6，
無極大值；當a=1或a≥3時，f(x)無極值