Question

11．已知當(dāng)x∈R，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，稱y=[x]為取整函數(shù)，例如[1.2]=1，[-2.3]=-3，若f（x）=[x]，且偶函數(shù)g（x）=-（x-1）²+1（x≥0），則方程f（f（x））=g（x）的所有解之和為-3-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由偶函數(shù)的性質(zhì)和條件求出x＜0時(shí)對(duì)應(yīng)的g（x），由[x]的意義和偶函數(shù)的圖象性質(zhì)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出f（f（x））和g（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象分別求出交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入g（x）的解析式求對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，即可得到答案．

解答 解：設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵偶函數(shù)g（x）=-（x-1）²+1（x≥0），
∴g（x）=g（-x）=-（-x-1）²+1
=-（x+1）²+1，
由f（x）=[x]得，f（f（x））=[x]，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出f（f（x））和g（x）的函數(shù)圖象，如圖所示：
由圖可得，兩個(gè)圖象有四個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分為1、0、-3、-4，
當(dāng)x≥0時(shí)，方程f（f（x））=g（x）的解是0和1；
當(dāng)x＜0時(shí)，
令g（x）=-（x+1）²+1=-3，解得x=-3，
令g（x）=-（x+1）²+1=-4，解得x=-1-$\sqrt{5}$，
綜上得，f（f（x））=g（x）的解是：
0、1、-3、-1-$\sqrt{5}$，
所有解之和是-3-$\sqrt{5}$，
故答案為：$-3-\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的圖象與性質(zhì)，取整函數(shù)的圖象，以及方程根的轉(zhuǎn)化，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，分析問題、解決問題的能力．