Question

（2012•泰安二模）已知函數f（x）=sinx+cosx
（I）若f(x)=

2 3

3

，求sin2x的值；
（II）求函數F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）的最大值與單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）由題意可得sinx+cosx=

2 3

3

，則平方可得sin2x的值．
（II）利用二倍角公式求得 函數F（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，由此求得最大值，令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范圍，即可得到函數F（x）的單調遞增區(qū)間．

解答：解：（I）若f(x)=

2 3

3

，即 sinx+cosx=

2 3

3

，則平方可得  1+sin2x=

12

9

，sin2x=

1

3

．
（II）∵函數F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+1+sin2x=cos2x+sin2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
故函數F（x）的最大值為

2

+1．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
故函數F（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系、二倍角公式的應用，求三角函數的最值，屬于中檔題．