Question

已知．
（1）當a≥時，求f（x）的最小值；
（2）當a＜時，討論f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）f'（x）=x（x²+x+a），
當a≥時，x²+x+a≥0恒成立，
所以x＜0時f'（x）≤0，
僅當a=，x=時等于0，
x＞0時，f'（x）＞0，
因此f（x）在x=0處取得極小值，
∵只有這個唯一的極小值，
∴這個極小值也是最小值．
故最小值為f（0）=1．
（2）當a＜時，x²+x+a=0有兩個不等實根：
x₁=，x₂=，
若0＜a＜，則x₁＜x₂＜0，f'（x）的圖象如圖，
f（x）的增區(qū)間為（x₁，x₂）和（0，+∞），
減區(qū)間為（-∞，x₁）和（x₂，0）；
若a=0，則x₁=-1，x₂=0，f'（x）的圖象如
圖，f（x）的增區(qū)間為（-1，+∞），減區(qū)間為（-∞，-1）；
若a＜0，則x₁＜0，x₂＞0，f'（x）的圖象如圖，
f（x）的增區(qū)間為（x₁，0）和（x₂，+∞），
減區(qū)間為（-∞，x₁）和（0，x₂）．
分析：（1）由f'（x）=x（x²+x+a），知當a≥時，x²+x+a≥0恒成立，所以x＜0時，f'（x）≤0，x＞0時，f'（x）＞0，由此能求出f（x）的最小值．
（2）當a＜時，x²+x+a=0有兩個不等實根：x₁=，x₂=，若0＜a＜，則x₁＜x₂＜0，由此能導出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．