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設0＜θ＜2π,復數z=1-cosθ+isinθ,u=a2+ai,且zu是純虛數,a是實數,記ω=z2+u2+2zu,試問ω可能是正數嗎?為什么?

解：假設ω是正實數,那么有ω=z2+u2+2uz=(z+u)2＞0.

    而z+u=(1-cosθ+a2)+(a+sinθ)i,

∴(z+u)∈R.

    因而a+sinθ=0,

    即a=-sinθ.                                     (1)

    又zu=(1-cosθ+isinθ)(a2+ai)=a2(1-cosθ)-asinθ+[a2sinθ+a(1-cosθ)]i是純虛數,

∴

    將 (1)代入 (3)得sin3θ-sinθ+sinθcosθ≠0,

    即sinθ(sin2θ-1+cosθ)≠0,

∴sinθ≠0.

    將 (1)代入 (2)得sin2θ(1-cosθ)+sin2θ=0,

    即sin2θ(2-cosθ)=0.

∵sinθ≠0,

∴cosθ=2矛盾.

    這是不可能的,故假設不成立,∴ω不可能是正數.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知復數z=x+yi（x，y∈R）在復平面上對應的點為M．
（Ⅰ）設集合P={-4，-3，-2，0}，Q={0，1，2}，從集合P中隨機取一個數作為x，從集合Q中隨機取一個
數作為y，求復數z為純虛數的概率；
（Ⅱ）設x∈[0，3]，y∈[0，4]，求點M落在不等式組：
x+2y-3≤0
x≥0
y≥0
所表示的平面區(qū)域內的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設z1，z2是非零復數滿足z12+z1z2+z22=0，則（
z1
z1+z2
）2+（
z2
z1+z2
）2的值是（　�。�
A、-1B、1C、-2D、2

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科目：高中數學 來源： 題型：

設x，y是0，1，2，3，4，5中任意兩個不同的數，那么復數x+yi恰好是純虛數的概率為（　�。�
A、
1
6
B、
1
3
C、
1
5
D、
1
30

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•嘉定區(qū)二模）已知復數z1=sin2θ+i，z2=cos2θ+icos2θ，其中θ∈（0，2π）．設z=z1+z2，且復數z在復平面上對應的點P在直線x+2y-2=0上，求θ的值所組成的集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a是實數，若復數
a
1-i
+
1-i
2
（i為虛數單位）在復平面內對應的點在直線x+y=0上，則a的值為（　�。�
A、-1B、0C、1D、2

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