Question

已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052208142818757772/SYS201205220815472656191418_ST.files/image002.png">，且滿足條件：①，②③當(dāng).

（1）求證：函數(shù)為偶函數(shù)；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）求不等式的解集

 

Answer 1

【答案】

解：（1）在①中令x=y=1, 得f(1)= f(1)+ f(1) f(1)=0,

令x=y=－1, 得f(1)= f(－1)+ f(－1) f(－1)=0,

再令y=－1, 得f(－x)= f(x)+ f(－1) f(x), ∴f(x)為偶函 數(shù)；

（2）在①中令

先討論上的單調(diào)性， 任取x₁http://www.zxxk.com/x₂，設(shè)x₂>x₁>0，

由③知：>0，∴f(x₂)>f(x₁)， ∴f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)，

∵偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 ，∴f(x)在（－∞，0）上是減函數(shù)；[來(lái)源:Z+xx+k.Com]

（3）∵f[x(x－3)]= f(x)+ f(x－3)≤2， 由①②得2=1+1= f(2)+ f(2)= f(4)= f(－4)，

1）若x(x－3)>0 , ∵f(x)在（0，+∞）上為增函數(shù)，

由f[x(x－3)] ≤f(4) 得

2）若x(x－3)<0, ∵f(x)在（－∞，0）上為減函數(shù)；

由f[x(x－3)] ≤f(－4)得 

∴原不等式的解集為：

【解析】略