Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的焦距為，直線截圓與橢圓所得的弦長(zhǎng)之比為，圓、橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)分別為，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)（且）為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線，分別交軸于點(diǎn)，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)焦距為，直線截圓與橢圓所得的弦長(zhǎng)之比為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、，即可得結(jié)果；（2）由（1）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由直線的方程與直線的方程令，分別求得，，可證明，即，從而可得結(jié)論.

（1）根據(jù)題意可知，.

因?yàn)橹本�截橢圓所得的弦長(zhǎng)為，

所以，化簡(jiǎn)得.

所以，.

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

直線的方程為，令，得.

因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以.

所以直線的方程為.

令，得.

因?yàn)?/span>，

而點(diǎn)在橢圓上，所以.即，所以，即，所以.