Question

如圖，∠AOB=

π

3

，動(dòng)點(diǎn)A₁，A₂與B₁，B₂分別在射線OA，OB上，且線段A₁A₂的長(zhǎng)為1，線段B₁B₂的長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N分別是線段A₁B₁，A₂B₂的中點(diǎn)．
（Ⅰ）用向量

A1A2

與

B1B2

表示向量

MN

；
（Ⅱ）求向量

MN

的模．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意，

MN

=

MB1

+

B1B2

+

B2N

，注意到點(diǎn)M，N分別是線段A₁B₁，A₂B₂的中點(diǎn)，即可用向量

A1A2

與

B1B2

表示向量

MN

；
（Ⅱ）由已知可得向量

A1A2

與

B1B2

的模分別為1與2，夾角為

π

3

，求向量

MN

的模．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，

MN

=

MB1

+

B1B2

+

B2N

，
注意到點(diǎn)M，N分別是線段A₁B₁，A₂B₂的中點(diǎn)，得

MN

=

1

2

(

A1A2

+

B1B2

)．…（6分）
（Ⅱ）由已知可得向量

A1A2

與

B1B2

的模分別為1與2，夾角為

π

3

，
所以

A1A2

•

B1B2

=1，
由

MN

=

1

2

(

A1A2

+

B1B2

)得|

MN

|=

1 4 ( A1A2 + B1B2 )2

=

1

2

1+4+2×1×2× 1 2

=

7

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，考查向量的加法運(yùn)算，屬于中檔題．