已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓Ω,它的離心率為,一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合,過(guò)直線l:x=4上一點(diǎn)M引橢圓Ω的兩條切線,切點(diǎn)分別是A,B.
(Ⅰ)求橢圓Ω的方程;
(Ⅱ)若在橢圓上的點(diǎn)(x,y)處的橢圓的切線方程是.求證:直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C;并出求定點(diǎn)C的坐標(biāo).
(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立?(點(diǎn)C為直線AB恒過(guò)的定點(diǎn))若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為,根據(jù)它的一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合,從而求出c值,再求出a和b的值,從而求解;
(Ⅱ)切點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)(4,t),求出切線方程,再把點(diǎn)M代入切線方程,說(shuō)明點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都適合方程,而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線,從而求出定點(diǎn);
(Ⅲ)聯(lián)立直線方程和橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立,求出兩根的積和兩根的和,求出|AC|,|BC|的長(zhǎng),求出λ的值看在不在,再進(jìn)行判斷;
解答:解:(I)設(shè)橢圓方程為
拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)是(-1,0),故c=1,又,
所以,
所以所求的橢圓Ω方程為…(4分)
(II)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),
直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)(4,t).
則切線方程分別為,
又兩切線均過(guò)點(diǎn)M,
,
即點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都適合方程,而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線,
故直線AB的方程是,顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)t,點(diǎn)(1,0)都適合這個(gè)方程,
故直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C(1,0).           …(9分)
(III)將直線AB的方程,代入橢圓方程,
,即
所以
不妨設(shè)y1>0,y2<0
同理…(12分)
所以=

故存在實(shí)數(shù),使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|.   …(15分)
點(diǎn)評(píng):此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程,第三問(wèn)是一個(gè)存在性問(wèn)題,利用了根與系數(shù)的關(guān)系,需要聯(lián)立方程,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,是一道難題;
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(2013•大興區(qū)一模)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的離心率為
3
2
,實(shí)軸長(zhǎng)為4,則雙曲線的方程是
x2
4
-
y2
5 
=1
x2
4
-
y2
5 
=1

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已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C,過(guò)點(diǎn)P(2,
3
)且離心率為2,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
3
-
y2
9
=1
x2
3
-
y2
9
=1

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1
2
x
,則此雙曲線的離心率為(  )

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已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的一條漸近線方程為
3
x-y=0
,則該雙曲線的離心率為( 。

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