Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4-k|x-2|．
（1）若函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，求k的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值；
（3）若函數(shù)y=f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閥=f（x）為偶函數(shù)，所以f（-1）=f（1），由此解得k的值．
（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）=

x2+kx-2k-4，0≤x≤2 x2-kx+2k-4，2＜x≤4

，所以其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一．再由f（4）＞f（0），可得函數(shù)的最大值．
（3）由題意得，方程x²-4-k|x-2|=0有且僅有一個(gè)解，顯然，x=2已是該方程的解．故關(guān)于x的方程x+2-k=0（x≥2）有且僅有一個(gè)等于2的解或無(wú)解，且x+2+k=0（x＜2）無(wú)解，從而求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)閥=f（x）為偶函數(shù)，所以f（-1）=f（1），解得k=0，
經(jīng)檢驗(yàn)k=0符合題意． …（2分）
（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）=

x2+kx-2k-4，0≤x≤2 x2-kx+2k-4，2＜x≤4

，
因?yàn)閥=f（x）在區(qū)間[0，4]上圖象由兩段拋物線段組成，且這兩個(gè)拋物線開(kāi)口均向上，
所以其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一． …（4分）
又f（0）=-2k-4，f（2）=0，f（4）=12-2k，顯然f（4）＞f（0）．
所以當(dāng)k＜6時(shí)，所求最大值為f（4）=12-2k；
當(dāng)k≥6時(shí)，所求最大值為f（2）=0．…（6分）
（3）由題意得，方程x²-4-k|x-2|=0有且僅有一個(gè)解，顯然，x=2已是該方程的解．…（8分）
當(dāng)x≥2時(shí)，方程變?yōu)椋▁-2）（ x+2-k）=0；
當(dāng)x＜2時(shí)，方程變?yōu)椋▁-2）（ x+2+k）=0．
從而關(guān)于x的方程x+2-k=0（x≥2）有且僅有一個(gè)等于2的解或無(wú)解，且x+2+k=0（x＜2）無(wú)解．
又x=2時(shí)，k=4，此時(shí)x=-6也是方程的解，不合題意．
所以關(guān)于x的方程x+2-k=0（x≥2）無(wú)解，且x+2+k=0（x＜2）無(wú)解．
所以，k＜4且k≤-4．
綜上，k≤-4，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，-4]．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的定義，函數(shù)的奇偶性，體現(xiàn)了分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．