Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，△PAB為正三角形．AB⊥AD，CD⊥AD，點(diǎn)E、M為線段BC、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別為線段PA，AE上一點(diǎn)，且AB=AD=2，PF=2FA．
（1）確定點(diǎn)G的位置，使得FG∥平面PCD；
（2）試問(wèn)：直線CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面PAB與平面PMQ所成銳二面角的大小為30°，若存在，求DQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在AD上取AN=$\frac{1}{3}$AD，過(guò)N作NG∥DC，交AE于G，連結(jié)FG，F(xiàn)N，利用平面與平面平行的判定定理證明平面FNG∥平面PCD，推出FG∥平面PCD．
（2）作PO⊥AB于O，BA所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，在平面ABCD內(nèi)作AB的垂線為y軸，求出平面PAB的法向量，平面PMQ的法向量，利用平面PAB與平面PMQ所成銳二面角的大小為30°，求解得λ推出CD的大�。�

解答 解：（1）在AD上取AN=$\frac{1}{3}$AD，過(guò)N作NG∥DC，交AE于G，連結(jié)FG，F(xiàn)N，
∵PF=2FA．可得FA=$\frac{1}{3}$PA，所以FN∥PD，又NG∥DC，F(xiàn)N∩NG=N，PD∩DC=D，
可得平面FNG∥平面PCD，F(xiàn)G?平面FNG，所以FG∥平面PCD．
（2）作PO⊥AB于O，BA所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，在平面ABCD內(nèi)作AB的垂線為y軸，如圖：平面PAB的法向量為：$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
A（1，0，0），Q（λ，2，0），M（1，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
則$\overrightarrow{MP}$=（-1，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{MQ}$=（λ-1，1，0），
設(shè)平面PMQ的法向量為：$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MQ}=0}\end{array}\right.$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{-x-y+\sqrt{3}z=0}\\{（λ-1）x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，則y=1-λ，z=$\frac{2-λ}{\sqrt{3}}$，
平面PAB與平面PMQ所成銳二面角的大小為30°，
可得：cos30°=$|\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{|1-λ|}{\sqrt{1+（1-λ）^{2}+（\frac{2-λ}{\sqrt{3}}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得λ=3．
此時(shí)DQ=2在CD的延長(zhǎng)線上，或DQ=$\frac{1}{3}$在CD線段上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定定理以及二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．