Question

平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚�(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且無(wú)任何三個(gè)圓相交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成f（n）=n²-n+2個(gè)部分.

Answer 1

分析：?jiǎn)栴}的難點(diǎn)是在假設(shè)n=k時(shí)，k個(gè)圓把平面分成f（k）=k²-k+2個(gè)部分，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，平面增加幾部分.此時(shí)第k+1個(gè)圓與前面k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)將第k+1個(gè)圓分成2k段，每段將各自所在的區(qū)域一分為二，因此增加了2k個(gè)部分.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成二部分，且f（1）=1²-1+2=2，因此，n=1時(shí)命題成立.

    （2）假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f（k）=k²-k+2部分,如果增加一個(gè)滿(mǎn)足條件的任一個(gè)圓，則這個(gè)圓必與前k個(gè)圓交于2k個(gè)點(diǎn),這2k個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成為兩部分，因此,這時(shí)平面被分割的總數(shù)在原來(lái)的基礎(chǔ)上又增加了2k個(gè)部分，即

f（k+1）=f（k）+2k=k²-k+2+2k

=（k+1）²-（k+1）+2，

即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題亦成立.

根據(jù)（1）（2）可知，n個(gè)圓將平面分成了f（n）=n²-n+2部分.