Question

已知拋物線y²=2px，（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為，A，B，C為拋物線上相異三點(diǎn)．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若，求證：為定值；
（Ⅲ）若A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，直線BF交拋物線于另一點(diǎn)D，且AC⊥BD，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線y²=2px和焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程：，焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為，即可求得p值；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），由（1）知，∵，求得x₁+x₂+x₃的值，進(jìn)而利用拋物線的定義推斷出=（x₁+1）+（x₂+1）+（x₃+1）把x₁+x₂+x₃的值代入即可求得答案．
（Ⅲ）由（1）知，拋物線方程為：y²=3x，顯然AC，BD都不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線AC的方程為：，可得到AC的方程然后與拋物線聯(lián)立得到兩根之和、兩根之積，根據(jù)弦長(zhǎng)公式表示出|AC|并化簡(jiǎn)，然后根據(jù)直線AC的斜率可得到直線BD的斜率求出|BD|的弦長(zhǎng)，再表示出S_{四邊形ABCD}運(yùn)用基本不等式可確定答案．
解答：解：（Ⅰ）焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程：，
∵焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為，即，
∴．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），由（1）知，
∵，即，
∴，即，
由拋物線的定義：===．
（Ⅲ）由（1）知，拋物線方程為：y²=3x，
顯然AC，BD都不垂直于坐標(biāo)軸，
設(shè)直線AC的方程為：，
聯(lián)立得：，
由韋達(dá)定理得，，
∴，
將上式中m用代換，得，
于是，=，
當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)，上式取等號(hào)，故四邊形ABCD面積的最小值為18．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．本題是拋物線和直線的綜合問(wèn)題．直線和圓錐曲線的綜合題一般作為高考的壓軸題出現(xiàn)，要想解答正確，就必須對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)熟練掌握．