Question

6．如圖，已知三棱錐S-ABC的三條側棱長均為10，若∠BSC=α，∠CSA=β，∠ASB=γ且sin²$\frac{α}{2}+{sin^2}\frac{β}{2}={sin^2}\frac{γ}{2}$．
（1）求證：平面SAB⊥平面ABC
（2）若α=$\frac{π}{3}，β=\frac{π}{2}，γ=\frac{2π}{3}$，求三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，S在底面的射影O為△ABC的外心，從而SO⊥平面ABC，由此能證明平面SAB⊥平面ABC．
（2）分別求出S_△ABC和SO，由此能求出三棱錐S-ABC的體積．

解答 證明：（1）∵三棱錐S-ABC的三條側棱長均為10，
∠BSC=α，∠CSA=β，∠ASB=γ且sin²$\frac{α}{2}+{sin^2}\frac{β}{2}={sin^2}\frac{γ}{2}$．
∴在$△ABS中，A{B^2}=200-200cosγ=200（1-cosγ）=400{sin^2}\frac{γ}{2}$．
同理$A{C^2}=400{sin^2}\frac{β}{2}，BC=400{sin^2}\frac{α}{2}$．
∵${sin^2}\frac{α}{2}+{sin^2}\frac{β}{2}={sin^2}\frac{γ}{2}$，
∴AC²+BC²+AB²，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．
又SA=SB=SC=10，則S在底面的射影O為△ABC的外心，
由△ABC是直角三角形知O為斜邊AB的中點．
∴SO⊥平面ABC，
∵SO?平面SAB．∴平面SAB⊥平面ABC．
解：（2）∵α=$\frac{π}{3}，β=\frac{π}{2}，γ=\frac{2π}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•BC=200sin\frac{α}{2}sin\frac{β}{2}=50\sqrt{2}$．
∴$SO=\sqrt{S{A^2}-A{O^2}}=100cos\frac{γ}{2}=50$，
∴三棱錐S-ABC的體積$V=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×SO$=$\frac{1}{3}×50\sqrt{2}×50$=$\frac{250\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．