分析 (1)推導出△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,S在底面的射影O為△ABC的外心,從而SO⊥平面ABC,由此能證明平面SAB⊥平面ABC.
(2)分別求出S△ABC和SO,由此能求出三棱錐S-ABC的體積.
解答 證明:(1)∵三棱錐S-ABC的三條側棱長均為10,
∠BSC=α,∠CSA=β,∠ASB=γ且sin2$\frac{α}{2}+{sin^2}\frac{β}{2}={sin^2}\frac{γ}{2}$.
∴在$△ABS中,A{B^2}=200-200cosγ=200(1-cosγ)=400{sin^2}\frac{γ}{2}$.
同理$A{C^2}=400{sin^2}\frac{β}{2},BC=400{sin^2}\frac{α}{2}$.
∵${sin^2}\frac{α}{2}+{sin^2}\frac{β}{2}={sin^2}\frac{γ}{2}$,
∴AC2+BC2+AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.
又SA=SB=SC=10,則S在底面的射影O為△ABC的外心,
由△ABC是直角三角形知O為斜邊AB的中點.
∴SO⊥平面ABC,
∵SO?平面SAB.∴平面SAB⊥平面ABC.
解:(2)∵α=$\frac{π}{3},β=\frac{π}{2},γ=\frac{2π}{3}$,
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•BC=200sin\frac{α}{2}sin\frac{β}{2}=50\sqrt{2}$.
∴$SO=\sqrt{S{A^2}-A{O^2}}=100cos\frac{γ}{2}=50$,
∴三棱錐S-ABC的體積$V=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×SO$=$\frac{1}{3}×50\sqrt{2}×50$=$\frac{250\sqrt{2}}{3}$.
點評 本題考查面面垂直的證明,考查幾何體的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | {-1,0,2,3} | B. | {0,1,2} | C. | {0,2,4} | D. | {0,2,3,6} |
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A. | 6 | B. | 9 | C. | 18 | D. | 54 |
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A. | m>-2 | B. | m>2 | C. | $m>\frac{1}{2}$ | D. | $m>-\frac{1}{2}$ |
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A. | .(2,16) | B. | .(-2,-16) | C. | .(4,16) | D. | (2,0) |
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