Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x²+tx+1），（t為常數(shù)，且t＞-2）
（1）當x∈[0，2]時，求f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的實數(shù)a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出實數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令g（x）=x²+tx+1，對稱軸方程為x=-

t

2

，利用對稱軸x=-

t

2

與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系進行分類討論能求出f（x）的最小值．
（2）假設(shè)存在．由題設(shè)條件得

a2+ta+1=a b2+tb+1=b a≠b

，由此能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）令g（x）=x²+tx+1，對稱軸方程為x=-

t

2

，
∵x∈[0，2]，∴由對稱軸x=-

t

2

與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系進行分類討論：
①當-

t

2

≤0，即t≥0時，g（x）min=g（0）=1，∴f（x）min=0．
②當0＜-

t

2

＜2，即-4＜t＜0時，g（x）min=g（-

t

2

）=1-

t2

4

，
考慮到g（x）＞0，所以-2＜t＜0，f（x）min=f（-

t

2

）=lg（1-

t2

4

）；
③當-

t

2

≥2，即t≤-4時，g（x）min=g（2）=5+2t，
考慮到g（x）＞0，∴f（x）沒有最小值．
綜上所述：當t≤-2時f（x）沒有最小值；
當t＞-2時，f（x）_min=

lg(1- t2 4 )，-2＜t＜0 0，t≥0

．
（2）假設(shè)存在．
由題設(shè)條件，得

a2+ta+1=a b2+tb+1=b a≠b

，
等價于x²+tx+1=x在區(qū)間（0，2）上有兩個不同的實根，
令h（x）=x²+（t-1）x+1在（0，2）上有兩個不同的零點
∴

h(0)＞0 h(2)＞0 △＞0 0＜- b 2a ＜2

，即

1＞0 t＞- 3 2 (t-1)2-4＞0 0＜- t-1 2 ＜2

，
解得-

3

2

＜t＜-1．
故實數(shù)t的取值范圍是（-

3

2

，-1）．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)定義域的求解，復合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，要注意考慮對稱軸與區(qū)間位置關(guān)系的討論，二次方程的實根分布問題的應(yīng)用．