Question

已知函數(shù)f(x)=ax-lnx+

a-1

x

-1，試討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）的符號(hào)即可判斷f（x）的單調(diào)性，這里要注意怎樣對(duì)a討論，求導(dǎo)之后你會(huì)得到f′（x′）=

(x-1)(ax+a-1)

x2

，因x＞0，所以只需對(duì)（x-1）（ax+a-1）討論符號(hào)．在這里你很容易想到要提出a，所以需要先討論a是否等于0，等于0的情況很容易求出單調(diào)區(qū)間，對(duì)于a不等于0的情況，先提出a得到f′（x）=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

，這時(shí)這樣進(jìn)行討論：

1-a

a

≤0，0＜

1-a

a

＜1，

1-a

a

=1，

1-a

a

＞1，這樣便完成對(duì)f（x）單調(diào)性的討論．

解答： 解：f′(x)=

ax2-x-a+1

x2

=

(x-1)(ax+a-1)

x2

．
當(dāng)a=0時(shí)f′(x)=

1-x

x2

，∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a≠0時(shí)，f′(x)=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

當(dāng)a＜0  時(shí)，

1-a

a

＜0，∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜

1

2

 時(shí)，

1-a

a

＞1，∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在(1，

1-a

a

)上單調(diào)遞減，在[

a-1

a

，+∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a=

1

2

 時(shí)，

1-a

a

=1，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)

1

2

＜a＜1 時(shí)，0＜

1-a

a

＜1，∴f(x) 在(0，

1-a

a

)上單調(diào)遞增，在(

1-a

a

，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≥1時(shí)，

1-a

a

＜0，∴f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增；

點(diǎn)評(píng)：用導(dǎo)數(shù)法判斷f（x）的單調(diào)性，這個(gè)很容易想到，而要注意的是怎樣對(duì)a取值的討論．