Question

已知直線l：y=kx+1（k∈R）與圓C：x²+y²=4相交于點(diǎn)A、B，M為弦AB的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)k=1時(shí)求弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求證：直線l與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）當(dāng)k變化時(shí)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）當(dāng)k=1時(shí)，y=x+1與圓C：x²+y²=4聯(lián)立可得2x²+2x-3=0，即可求出弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）由線系方程判斷出直線過圓上的定點(diǎn)，即可得出結(jié)論‘
（3）設(shè)出弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，由OM⊥AB，可得x+ky=0①，M在l上，可得y=kx+1②，①②消去k，可得弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，y=x+1與圓C：x²+y²=4聯(lián)立可得2x²+2x-3=0，
∵直線l：y=kx+1（k∈R）與圓C：x²+y²=4相交于點(diǎn)A、B，M為弦AB的中點(diǎn)，
∴M（

1

2

，

1

2

）；
（2）直線l：y=kx+1（k∈R），無論k為何值，直線l必須經(jīng)過點(diǎn)（0，1），而點(diǎn)（0，1）為圓內(nèi)一點(diǎn)，所以該直線必與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）設(shè)M（x，y），則∵OM⊥AB，∴x+ky=0①
∵M(jìn)在l上，∴y=kx+1②
①②消去k，可得弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程x2+(y-

1

2

)2=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．