Question

13．設(shè)m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x，y），（點P與點A，B不重合），則△PAB的面積最大值是（　�。�

• A． $2\sqrt{5}$
• B． 5
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 動直線x+my=0，令y=0，解得x=0，因此此直線過定點A（0，0）．動直線mx-y-m+3=0，即m（x-1）+3-y=0，令x-1=0，3-y=0，可得此直線過定點B（1，3）．分類討論：m=0時，兩條直線分別為x=0，y=3，交點P（0，3），可得S_△PAB=$\frac{3}{2}$．m≠0時，兩條直線的斜率分別為：-$\frac{1}{m}$，m，則-$\frac{1}{m}$×m=-1，因此兩條直線相互垂直．
當PA=PB時，△PAB的面積取得最大值．即可得出．

解答 解：動直線x+my=0，令y=0，解得x=0，因此此直線過定點A（0，0）．
動直線mx-y-m+3=0，即m（x-1）+3-y=0，令x-1=0，3-y=0，解得x=1，y=3，因此此直線過定點B（1，3）．
m=0時，兩條直線分別為x=0，y=3，交點P（0，3），S_△PAB=$\frac{1}{2}×1×3$=$\frac{3}{2}$．
m≠0時，兩條直線的斜率分別為：-$\frac{1}{m}$，m，則-$\frac{1}{m}$×m=-1，因此兩條直線相互垂直．
當PA=PB時，△PAB的面積取得最大值．
由$\sqrt{2}$PA=AB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$．解得PA=$\sqrt{5}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}P{A}^{2}$=$\frac{5}{2}$．
綜上可得：△PAB的面積最大值是$\frac{5}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了直線方程、三角形面積計算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．