Question

（本小題滿分12分）邊長為2的正方形ABCD中,

（1）如果E、F分別為AB、BC中點, 分別將△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起, 使A、B、C重合于點P.證明: 在折疊過程中, A點始終在某個圓上, 并指出圓心和半徑.

（2）如果F為BC的中點, E是線段AB上的動點, 沿DE、DF將△AED、△DCF折起,使A、

C重合于點P, 求三棱錐P－DEF體積的最大值.

 

Answer 1

（1）證明見解析，A在以M為圓心, AM為半徑的圓上.（2）

【解析】

試題分析：（1）根據三角形在折疊過程的點的變化，即可得到結論.

（2）根據線面垂直的性質，結合三棱錐的體積公式即可得到結論.

試題解析：

（1）解：∵E、F分別為正方形邊AB、BC中點, 在平面圖中連接AF, BD交于O點, AF交DE于M, 可知O

為三角形DEF的垂心.三角形AED在沿DE折疊過程中, AM始終垂直于DE, ∴A在過M且與DE垂直的

平面上, 又AM＝, ∴A在以M為圓心, AM為半徑的圓上.

（2）∵PD⊥PF, PD⊥PE, ∴PD垂直于平面PEF, 所以當三角形PEF面積最大時, 三棱錐P－DEF體積最大.

設PE＝t,,,

, 當時.

考點：空間幾何體的折疊問題，三棱錐的體積計算