Question

15．已知直線l₁：（1+4k）x-（2-3k）y+（2-14k）=0，圓C：x²+y²-6x-8y+9=0．
（1）判斷直線l₁與圓的位置關系，并證明你的結論；
（2）直線l₂過直線l₁的定點且l₁⊥l₂，若l₁與圓C交與A，B兩點，l₂與圓C交與E，F(xiàn)兩點，求AB+EF的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線方程可整理為（x-2y+2）+（4x+3y-14）k=0，可得直線過定點；求出圓心C到點P（2，2）的距離，與半徑比較，可得可得直線l₁與圓的位置關系；
（2）$AB+EF=2\sqrt{16-{d_2}^2}+2\sqrt{16-{d_1}^2}$，利用基本不等式，即可求AB+EF的最大值．

解答 解：（1）直線與圓相交…（2分）
證明：直線方程可整理為（x-2y+2）+（4x+3y-14）k=0
所以$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{4x+3y-14=0}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}}\right.$
所以直線過定點P（2，2）…（5分）
圓C方程可整理為（x-3）²+（y-4）²=16
因為圓心C到點P（2，2）的距離d為$d=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
由$d=\sqrt{5}＜4$，所以直線與圓C相交…（6分）
（2）設點C到直線AB，EF的距離分別為d₁，d₂（d₁，d₂≥0）
則$d_1^2+d_2^2=5$…（8分）
又$AB=2\sqrt{16-{d_1}^2}，EF=2\sqrt{16-{d_2}^2}$
所以$AB+EF=2\sqrt{16-{d_2}^2}+2\sqrt{16-{d_1}^2}$…（10分）
則$\begin{array}{l}{（AB+EF）^2}={（2\sqrt{16-{d_2}^2}+2\sqrt{16-{d_1}^2}）^2}\end{array}$=$4（16-{d_1}^2+16-{d_2}^2+2\sqrt{16-{d_1}^2}•\sqrt{16-{d_2}^2}）$
=$4（27+2\sqrt{256-16（d_1^2+d_2^2）+d_1^2•d_2^2}$
=$4（27+2\sqrt{176+d_1^2•d_2^2}$…（12分）
又因為$2d_1^{\;}d_2^{\;}≤d_1^2+d_2^2=5$
所以$d_1^2d_2^2≤\frac{25}{4}$（當且僅當$d_1^{\;}={d_2}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$時取到等號）…（14分）
所以 $\sqrt{176+d_1^2•d_2^2}≤\sqrt{176+\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{729}{4}}=\frac{27}{2}$
所以${（AB+EF）^2}≤4（27+2×\frac{27}{2}）=216$
所以$AB+EF≤6\sqrt{6}$
所以AB+EF的最大值為$6\sqrt{6}$…（16分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．