Question

（1）若0＜x＜

5

2

，求f（x）=x（5-2x）的最大值．
（2）已知f（x）=x²+ax+3-a，若x∈R時(shí)，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分析函數(shù)f（x）=x（5-2x）的圖象和性質(zhì)，結(jié)合0＜x＜

5

2

，可得當(dāng)x=

5

4

時(shí)f（x）=x（5-2x）取最大值；
（2）若x∈R時(shí)，f（x）≥0恒成立，則函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，即△=a²-4（3-a）≤0，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x（5-2x）=-2x²+5x的圖象為
開口朝下，且以直線x=

5

4

為對稱軸的拋物線
又∵0＜x＜

5

2

，
故當(dāng)x=

5

4

時(shí)f（x）=x（5-2x）取最大值

25

8

（2）∵函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a，若x∈R時(shí)，f（x）≥0恒成立，
故函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)
即△=a²-4（3-a）≤0
即a²+4a-12≤0
解得-6≤a≤2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．