Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點為F，P是第一象限內C上的點，Q為雙曲線左準線上的點，若OP垂直平分FQ，則雙曲線的離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：OP垂直平分FQ，O到F和Q的距離相等，即c²=

a4

c2

+p²，求出OP所在直線方程，直線必與雙曲線相交，且交點的橫坐標和縱坐標均大于零，即可得出結論．

解答： 解：右焦點F（c，0），左準線與x軸的交點B，
設P（m，n），m＞0，n＞0，m、n滿足

m2

a2

-

n2

b2

=1①
左準線方程x=-

a2

c

，令Q（-

a2

c

，p）
OP垂直平分FQ，O到F和Q的距離相等，即c²=

a4

c2

+p²②
設FQ中點A，則A（

b2

2c

，

p

2

），OP所在直線方程：y=

pc

b2

x
由②得：p=

b c2+a2

c

則有y=

c2+a2

b

x③
該直線必與雙曲線相交，且交點的橫坐標和縱坐標均大于零
將③代入①式：x²（

1

a2

-

c2+a2

b4

）-1=0，
∴2（

a

b

）⁴+（

a

b

）²-1＞0
∴（

a

b

）²＞

1

2

，
∴e=

c

a

=

1+ b2 a2

＞

3

，
故答案為：e＞

3

．

點評：本題考查雙曲線的性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．