Question

如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA＝2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC.問：點B在什么位置時，四邊形OACB面積最大？

 

 

 

Answer 1

點B在使∠AOB＝的位置時，四邊形OACB面積最大

【解析】

試題分析：在中,由已知OA=2,OB=1,設∠AOB=,則可應用余弦定理將AB的長用的三角函數表示出來,進而四邊形OACB面積S＝S△AOB＋S△AB表示成為的三角函數,再注意將三角函數化簡成為的形式,就可求得使四邊形OACB面積最大的角的值,從而就可確定點B的位置.

試題解析：設∠AOB＝α， .1分

在△AOB中，由余弦定理得

AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB

＝12＋22－2×1×2×cosα

＝5－4cosα， .4分

于是，四邊形OACB的面積為

S＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OBsinα＋AB2 6分

＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)

＝sinα－cosα＋

＝2sin＋. .10分

因為0＜α＜π，所以當α－＝，α＝，

即∠AOB＝時，四邊形OACB面積最大12分 12分

考點：1.解三角形;2.三角函數的性質.