Question

20．用綜合法或分析法證明：
（1）如果a，b＞0，則lg $\frac{a+b}{2}$≥$\frac{lga+lgb}{2}$；
（2）$\sqrt{6}$+$\sqrt{10}$＞2$\sqrt{3}$+2．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，結(jié)合y=lgx在（0，+∞）上增函數(shù)即可證明；
（2）用分析法證明不等式成立，就是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然成立為止．

解答 證明：（1）當(dāng)a，b＞0時(shí)，有$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，
∴l(xiāng)g$\frac{a+b}{2}$≥lg$\sqrt{ab}$，
∴l(xiāng)g $\frac{a+b}{2}$≥$\frac{1}{2}$lgab=$\frac{lga+lgb}{2}$．…（5分）
（2）要證$\sqrt{6}$+$\sqrt{10}$＞2$\sqrt{3}$+2，
只要證（$\sqrt{6}$+$\sqrt{10}$）²＞（2$\sqrt{3}$+2）²，
即2$\sqrt{60}$＞2$\sqrt{48}$，這是顯然成立的，
所以，原不等式成立．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查綜合法或分析法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域，基本不等式的應(yīng)用，掌握這兩種方法證明不等式是關(guān)鍵，屬于中檔題．