Question

20．已知遞增等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且a₂+1，a₄+1，S₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}+\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$-2，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則d＞0，運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，由等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，解方程可得d=2，即可得到所求通項公式；
（Ⅱ）求得b_n=$2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，因為a₁=1，
∴a₂+1=2+d，a₄+1=2+3d，S₄=4+6d，
∵a₂+1，a₄+1，S₄成等比數(shù)列，
∴${（{a_4}+1）^2}=（{a_2}+1）{S_4}$，
即（2+3d）²=（2+d）（4+6d），
解得d=2或$d=-\frac{2}{3}$．
∵等差數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，∴d=2，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）∵${b_n}=\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}+\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}-2$
=$\frac{2n-1}{2n+1}+\frac{2n+1}{2n-1}-2$
=$（1-\frac{2}{2n+1}）+（1+\frac{2}{2n-1}）-2$=$2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=2（1-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\;）$
=$2（1-\frac{1}{2n+1}\;）$=$\frac{4n}{2n+1}$．

點評 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，數(shù)列求和方法：裂項相消求和等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．