Question

【題目】在平面直角坐標系中，定義點P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）之間的“直角距離”為L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知點A（x，1）、B（1，2）、C（5，2）三點．
（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范圍；
（2）當x∈R時，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由定義得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，

即|x﹣1|＞|x﹣5|，兩邊平方得8x＞24，

解得x＞3

（2）解：當x∈R時，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，

也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，

因為|x﹣1|﹣|x﹣5|≤|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，所以t≥4，tmin=4．

故t的最小值為：4

【解析】（1）根據定義寫出L（A，B），L（A，C）的表達式，最后通過解不等式求出x的取值范圍；（2）當x∈R時，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即當x∈R時，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，運用分離變量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用絕對值不等式的性質，求得右邊的最大值為4，令t不小于4即可．