Question

（本小題滿分14分）

     如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, 

AA=2,  E、E分別是棱AD、AA的中點. 

（1）設F是棱AB的中點,證明：直線EE//平面FCC；

（2）證明:平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】證明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點F₁，

連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因為AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形， ………2分

所以CF₁//A₁D，                   

又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，

所以EE₁//A₁D，                       ………3分

所以CF₁//EE₁，                                  ………4分

又因為平面FCC，                        ………5分

平面FCC，                              ………6分

所以直線EE//平面FCC.                         ………7分

（2）連接AC,在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

所以CC₁⊥AC,                     ………8分

因為底面ABCD為等腰梯形，AB=4, BC=2,

 F是棱AB的中點,所以CF=CB=BF，

△BCF為正三角形，………10分

,△ACF為等腰三角形，且

所以AC⊥BC,                                      

又因為BC與CC₁都在平面BB₁C₁C內且交于點C,

所以AC⊥平面BB₁C₁C,                              ………12分

而平面D₁AC,                                 ………13分

所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.             ………………………14分