Question

設函數f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過點P（1，0），且在點P處的切線斜率為2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的極值點；
（Ⅲ）對定義域內任意一個x，不等式f（x）≤2x-2是否恒成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數的幾何意義及切點即可得出a、b的值；
（Ⅱ）利用f^′（x）=0及x＞0解出x的值，進而利用極值的定義進行判定即可求出；
（Ⅲ）對定義域內任意一個x，不等式f（x）≤2x-2是否恒成立?g（x）=f（x）-2x+2≤0在（0，+∞）上恒成立?g（x）_max≤0，x∈（0，+∞）．利用導數求出函數g（x）的極大值，進而求出其最大值即可判斷出答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x+ax²+blnx（x＞0）
∴f′(x)=1+2ax+

b

x

，
∵y=f（x）在點P（1，0）處的切線斜率為2，
∴

f(1)=0 f′(1)=2

即

1+a=0 1+2a+b=2

解得

a=-1 b=3

，
∴a=-1，b=3．
（Ⅱ）∵f（x）=x-x²+3lnx（x＞0）
得f′(x)=1-2x+

3

x

=

-2x2+x+3

x

，
即f′(x)=

(-2x+3)(x+1)

x

由x＞0可得，
當f'（x）＞0時，解得0＜x＜

3

2

，
當f'（x）＜0時，解得x＞

3

2

．
列表可得：
故f（x）只有極大值點，且極大值點為x=

3

2

．
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-2x+2，得g（x）=-x²-x+2+3lnx（x＞0），
∴g′(x)=-2x-1+

3

x

=

-2x2-x+3

x

，
即g′(x)=

(2x+3)(-x+1)

x

．
由x＞0可得，
當g'（x）＞0時，解得0＜x＜1；
當g'（x）＜0時，x＞1．
列表可得：
由表可知g（x）的最大值為g（1）=0．
即g（x）≤0恒成立，因此f（x）≤2x-2恒成立．

點評：熟練掌握導數的幾何意義和利用導數研究函數的極值、最值的方法是解題的關鍵．注意分類討論的思想方法和轉化思想的應用．