Question

7．已知實數(shù)x，y滿足條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-y-3≤0}\\{y≤2}\end{array}}\right.$，則$\frac{x}{x+y}$的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)分式的關(guān)系將條件進行轉(zhuǎn)化，利用直線斜率的幾何意義進行求解即可．

解答 解：$\frac{x}{x+y}$=$\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$，
設k=$\frac{y}{x}$，則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的斜率，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
則OB的斜率最小，此時k=0，
OC的斜率最大，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（1，2），
則k=2，即k=$\frac{y}{x}∈[0，\;\;2]$，
∴$\frac{x}{x+y}=\frac{1}{{1+\frac{y}{x}}}∈[{\frac{1}{3}，\;\;1}]$．
故答案為：[$\frac{1}{3}$，1]

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用分式的意義轉(zhuǎn)化為直線斜率的大小是解決本題的關(guān)鍵．