Question

如圖，已知橢圓C：=1的離心率為，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負(fù)半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△_PMN=，求直線AB的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意：，∴，∴①．
又∵P（2，1）在橢圓上，所以②．
聯(lián)立①②得：a²=8，b²=2．
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）設(shè)直線PA的方程為y-1=k（x-2），代入橢圓方程得：x²+4[k（x-2）+1]²=8，
整理得：（1+4k²）x²-8（2k-1）x+16k²-16k-4=0．
∵方程一根為2，由根與系數(shù)關(guān)系得，∴．
則．
∴A．
∵PA與PB傾斜角互補(bǔ)，∴k_PB=-k_PA=-k．
則B．
∴=．
設(shè)直線AB方程為，即x-2y+2m=0，
則M（-2m，0），N（0，m）（m＜0），
P到直線AB的距離為d=．
|MN|=．
∴．解得，或m=1（舍）．
所以所求直線AB的方程為x-2y-3=0．
分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率為，橢圓過定點P（2，1）及條件a²=b²+c²聯(lián)立可求a²，b²，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出過P點的直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后由根與系數(shù)關(guān)系求出A的坐標(biāo)，同理求出B的坐標(biāo)，由兩點式求出過AB直線的斜率，再設(shè)出AB的斜截式方程，利用三角形PMN的面積等于就能求出截距，則直線AB的方程可求．
點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、面積問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．