Question

設(shè)f(k)是滿足不等式log₂x+log₂(3×2^k-1-x)≥2k-1(k∈N₊)的自然數(shù)x的個(gè)數(shù).

(1)求f(k)的解析式；

（2）記S_n=f(1)+f(2)+…+f(n)，求S_n的解析式；

（3）令P_n=n²+n-1(n∈N₊),試比較S_n與P_n的大小.

Answer 1

解：(1)由已知不等式可得

2^k-1≤x≤2^k,從而f(k)=2^k-2^k-1+1=2^k-1+1.

(2)S_n=f(1)+f(2)+…+f(n)

=2⁰+2¹+…+2^n-1+n

=2ⁿ+n-1.

(3)S_n-P_n=2ⁿ-n².

當(dāng)n=1時(shí),2¹-1²＞0;當(dāng)n=2時(shí),2²-2²=0;

當(dāng)n=3時(shí),2³-3²＜0;當(dāng)n=4時(shí),2⁴-4²=0;

當(dāng)n=5時(shí),2⁵-5²＞0;當(dāng)n=6時(shí),2⁶-6²＞0.

猜想：當(dāng)n≥5時(shí),S_n＞P_n.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=5時(shí),S_n＞P_n,上面已證；

②假設(shè)n=k時(shí)，S_k＞P_k,即2^k＞k²,

則n=k+1時(shí),

∵S_k-P_k+1=2^k+1-(k-1)²＞2k²-(k+1)²=(k-1)²-2,

當(dāng)k≥5時(shí)，(k-1)²-2＞0,∴S_k+1＞P_k+1.

故當(dāng)n≥5時(shí)，總有S_n＞P_n成立.

綜上可知：當(dāng)n=1或n≥5時(shí)，有S_n＞P_n;

當(dāng)n=2或n=4時(shí),S_n=P_n;

當(dāng)n=3時(shí),S_n＜P_n.