Question

7．如圖所示的鐵片由兩部分組成，半徑為1的半圓O及等腰直角△EFH，其中FE⊥FH．現(xiàn)將鐵片裁剪成盡可能大的梯形鐵片ABCD（不計損耗），AD∥BC，且點A，B在弧$\widehat{EF}$上．點C，D在斜邊EH上．設(shè)∠AOE=θ．
（1）求梯形鐵片ABCD的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試確定θ的值，使得梯形鐵片ABCD的面積S最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用含有θ的代數(shù)式表示梯形ABCD的上下底面邊長和高，代入梯形的面積公式求得ABCD的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）對得到的面積關(guān)于θ的關(guān)系式求導(dǎo)，求出函數(shù)的極值點，也就是最大值點，則面積的最大值可求．

解答 解：（1）連接OB，根據(jù)對稱性可得∠AOE=∠BOF=θ且OA=OB=1，
∴AD=1-cosθ+sinθ，BC=1+cosθ+sinθ，AB=2cosθ，
∴S=$\frac{（AD+BC）•AB}{2}$=2（1+sinθ）cosθ，其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$；
（2）記f（θ）=2（1+sinθ）cosθ，其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
f′（θ）=2（cos²θ-sinθ-sin²θ）=-2（2sinθ-1）（sinθ+1）（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．
當(dāng)0＜θ＜$\frac{π}{6}$時，f′（θ）＞0，當(dāng)$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{2}$時，f′（θ）＜0，
∴θ=$\frac{π}{6}$時，S_max=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了簡單的建模思想方法，考查了三角函數(shù)最值的求法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．