Question

按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？
（1）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子；
（2）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；
（3）6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；
（4）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，恰有1個(gè)空盒．

Answer 1

分析：（1）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)小球都有4種可能，利用乘法原理可得結(jié)論；
（2）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球，先把6個(gè)小球分組，有兩種分法，再放入4個(gè)不同的盒子，即可得到結(jié)論；
（3）6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球，利用插空法；
（4）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球，先把6個(gè)小球分組，有兩種分法，再放入3個(gè)不同的盒子，即可得到不同的放法．

解答：解：（1）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)小球都有4種可能，利用乘法原理可得不同的方法有4⁶=4096；
（2）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球，先把6個(gè)小球分組，有兩種分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4個(gè)不同的盒子，故不同的方法共有（

C 2 6 C 2 4 C 1 2 C 1 1

A 2 2 A 2 2

+

C

3 6

）

A

4 4

=1560
（3）6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球，不同的方法共有

C

3 5

=10
（4）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球，先把6個(gè)小球分組，有兩種分法：3、2、1；2、2、2；4、1、1，再放入3個(gè)不同的盒子，故不同的方法共有（

C

3 6

C

2 3

C

1 1

+

C 2 6 C 2 4 C 2 2

A 3 3

+

C

4 6

）

A

3 4

=2160

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．