Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax-3（a≠0），
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對于任意的a∈[1，2]，若函數(shù)在區(qū)間（a，3）上有最值，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定義域為（0，+∞），且，
當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），減區(qū)間為（）；
當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；（4分）
（Ⅱ），∴g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，∵g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，∴g（x）在區(qū)間（a，3）上不總是單調(diào)函數(shù)，
又（6分）
由題意知：對任意a∈[1，2]，g'（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，∴，因為a∈[1，2]，所以，
對任意，a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴∴（9分）
（Ⅲ）令a=1此時f（x）=lnx-x-3，由（Ⅰ）知f（x）=lnx-x-3在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x∈（0，+∞）時f（x）＜f（1），∴l(xiāng)nx＜x-1對一切x∈（0，+∞）成立，∴l(xiāng)n（x+1）＜x對一切x∈（0，+∞）成立，∵n≥2，n∈N*，則有，（12分）∴
=
（14分）
分析：（Ⅰ）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，說明函數(shù)g（x）在區(qū)間（a，3）上先增后減或先減后增，解不等式g^/（a）•g^/（3）＜0，，再解關(guān)于a的不等式恒成立，可得m的取值范圍；
（Ⅲ）令a=1得f（x）=lnx-x-3，再利用（I）中單調(diào)性的結(jié)論得出當(dāng)x∈（0，+∞）時f（x）＜f（1），即ln（x+1）＜x對一切x∈（0，+∞）成立，取自變量得，再分別取n=2，3，…，n，將n-1個不等式累加可得要證的不等式成立．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等問題，同時還考查了函數(shù)與不等式的綜合問題，屬于難題．