如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,F(xiàn)D⊥平面ABCD,EB⊥平面ABCD,F(xiàn)D=BE=1,M為BC邊上的動點.試探究點M的位置,使F—AE—M為直二面角
.
當M在BC的中點時, 平面AME⊥平面AEF。
【解析】
試題分析:本小題適合采用空間向量法求解,以D為坐標原點,分別以DA、DC、DF所在直線為x、y、z軸,建立空間直角坐標D-xyz,然后求出相關點的坐標,設M(λ,1,0),再設二面角F—AE—M的兩個面的法向量,根據(jù)法向量垂直可得到關于λ的方程,從而求出λ的值,確定出點M的位置.
以D為坐標原點,分別以DA、DC、DF所在直線為x、y、z軸,建立空間直角坐標D-xyz,
依題意,得D(0,0,0),A(1,0,0),F(xiàn)(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),E(1,1,1),
設M(λ,1,0),平面AEF的法向量為=(x1,y1,z1),平面AME的法向量為
=(x2,y2,z2)
∵=(0,1,1),
=(-1,0,1), ∴
∴
取z1=1,得x1=1,y1=-1
∴=(1,-1,0)
又=(λ-1,1,0) ,
=(0,1,1),
∴
∴
取x2=1得y2=1-λ,z2=λ-1
∴ =(1,1-λ,λ-1)
若平面AME⊥平面AEF,則⊥
∴
=0,
∴1-(1-λ)+(λ-1)=0,解得λ=,
此時M為BC的中點.
所以當M在BC的中點時, 平面AME⊥平面AEF. ……………12分.
考點:空間向量法研究二面角.
點評:利用空間向量法的優(yōu)點是把幾何證明轉化為數(shù)值運算,解題的關鍵是建立一個恰當?shù)淖鴺讼担硗鈱ο嚓P點的坐標一定要認真仔細求對,否則會出現(xiàn)錯誤,問題無法進行.
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