Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)D⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，F(xiàn)D=BE=1，M為BC邊上的動(dòng)點(diǎn).試探究點(diǎn)M的位置，使F—AE—M為直二面角

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Answer 1

【答案】

當(dāng)M在BC的中點(diǎn)時(shí)， 平面AME⊥平面AEF。

【解析】

試題分析：本小題適合采用空間向量法求解，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DF所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)D-xyz，然后求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)M(λ，1，0)，再設(shè)二面角F—AE—M的兩個(gè)面的法向量，根據(jù)法向量垂直可得到關(guān)于λ的方程，從而求出λ的值，確定出點(diǎn)M的位置.

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DF所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)D-xyz，

依題意，得D(0，0，0)，A(1，0，0)，F(xiàn)(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，1，1)，

設(shè)M(λ，1，0)，平面AEF的法向量為=(x₁，y₁，z₁)，平面AME的法向量為

=(x₂，y₂，z₂)

∵=(0，1，1)，=(-1，0，1)， ∴    ∴

取z₁=1，得x₁=1，y₁=-1   ∴=(1，-1，0) 

又=(λ-1，1，0) ，=(0，1，1)，

∴  ∴

取x₂=1得y₂=1-λ，z₂=λ-1        ∴ =(1，1-λ，λ-1)

若平面AME⊥平面AEF，則⊥  ∴=0，

∴1-(1-λ)+(λ-1)=0，解得λ=，

此時(shí)M為BC的中點(diǎn).

所以當(dāng)M在BC的中點(diǎn)時(shí)， 平面AME⊥平面AEF.        ……………12分.

考點(diǎn)：空間向量法研究二面角.

點(diǎn)評：利用空間向量法的優(yōu)點(diǎn)是把幾何證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，另外對相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)一定要認(rèn)真仔細(xì)求對，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，問題無法進(jìn)行.