Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)D⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，F(xiàn)D=BE=1，M為BC邊上的動點.試探究點M的位置，使F—AE—M為直二面角

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Answer 1

【答案】

當M在BC的中點時， 平面AME⊥平面AEF。

【解析】

試題分析：本小題適合采用空間向量法求解，以D為坐標原點，分別以DA、DC、DF所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標D-xyz，然后求出相關點的坐標，設M(λ，1，0)，再設二面角F—AE—M的兩個面的法向量，根據(jù)法向量垂直可得到關于λ的方程，從而求出λ的值，確定出點M的位置.

以D為坐標原點，分別以DA、DC、DF所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標D-xyz，

依題意，得D(0，0，0)，A(1，0，0)，F(xiàn)(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，1，1)，

設M(λ，1，0)，平面AEF的法向量為=(x₁，y₁，z₁)，平面AME的法向量為

=(x₂，y₂，z₂)

∵=(0，1，1)，=(-1，0，1)， ∴    ∴

取z₁=1，得x₁=1，y₁=-1   ∴=(1，-1，0) 

又=(λ-1，1，0) ，=(0，1，1)，

∴  ∴

取x₂=1得y₂=1-λ，z₂=λ-1        ∴ =(1，1-λ，λ-1)

若平面AME⊥平面AEF，則⊥  ∴=0，

∴1-(1-λ)+(λ-1)=0，解得λ=，

此時M為BC的中點.

所以當M在BC的中點時， 平面AME⊥平面AEF.        ……………12分.

考點：空間向量法研究二面角.

點評：利用空間向量法的優(yōu)點是把幾何證明轉化為數(shù)值運算，解題的關鍵是建立一個恰當?shù)淖鴺讼担�另外對相關點的坐標一定要認真仔細求對，否則會出現(xiàn)錯誤，問題無法進行.