考點:數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知條件推導出a
n=2a
n-1,從而得到a
n=2•2
n-1=2
n.
bn=log2an=
log22n=n.
(2)由
=
=-,利用裂項求和法能求出{
}的前n項和為T
n.
(3)
Tn=1->1,由此得到λ
2-
λ>1,從而能求出λ的取值范圍.
解答:
解:(1)∵S
n=2a
n-2,
∴n=1時,a
1=S
1=2a
1-2,解得a
1=2.
n≥2時,a
n=S
n-S
n-1=2a
n-2-(2a
n-1-2)
∴a
n=2a
n-1,
∴數(shù)列{a
n}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,
∴a
n=2•2
n-1=2
n.
bn=log2an=
log22n=n.
(2)
=
=-,
T
n=1-
+-+…+-=1-
=
.
(3)∵
Tn=1-,∴T
n單調遞增,
當n=1時,T
n有最小值(T
n)
min=1-
=
,
∵
Tn=1->1,
∴不等式λ
2-
λ>T
n對任意n∈N
*恒成立,
等價于不等式λ
2-
λ>1,
解得-
<λ<2,
∴λ的取值范圍是(-
,2).
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查數(shù)列的前n項和的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,解題時要認真審題,注意裂項求和法的合理運用.