Question

對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的3次方冪有如下分解方式：2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，則
（1）8³的分解中最小的數(shù)是________；
（2）按以上規(guī)律分解，第n個(gè)式子可以表示表示為（n+1）³=________．

Answer 1

解：（1）由分析可設(shè)8³=（2n+1）+（2n+3）+（2n+5）+…共8項(xiàng)，
8³=16n+8²
求得n=28，2n+1=57．
即在8³的分解中，最小數(shù)是57．
（2）注意觀察各個(gè)數(shù)分解時(shí)的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)讛?shù)是2時(shí)，可以分解成兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)之和；當(dāng)?shù)讛?shù)是3時(shí)，可以分解成三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)之和．
按以上規(guī)律分解，第n個(gè)式子的第一個(gè)和式是n（n+1）+1，一共有n+1項(xiàng)．
∴第n個(gè)式子可以表示為：
（n+1）³=（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）
故答案為：57，（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）．
分析：（1）注意觀察各個(gè)數(shù)分解時(shí)的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)讛?shù)是2時(shí)，可以分解成兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)之和；當(dāng)?shù)讛?shù)是3時(shí)，可以分解成三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)之和．則當(dāng)?shù)讛?shù)是4時(shí)，可分解成4個(gè)連續(xù)的奇數(shù)之和．可設(shè)8³可連續(xù)分成2n+1，2n+3，2n+5，…之和，再相加求解n．
（2）按以上規(guī)律分解，第n個(gè)式子可以表示為（n+1）³=（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）．
點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．