Question

如果關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個(gè)正數(shù)解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），故我們可將關(guān)于x的方程 ax2+

1

x

=3x有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為“雙曲線(xiàn) y1=1x與y2=3x-ax2的圖象在y軸右側(cè)只有一個(gè)交點(diǎn)”．對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答：解：將方程ax2+

1

x

=3x改寫(xiě)為

1

x

=3x-ax2，令y1=

1

x

，y₂=3x-ax²．
“關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個(gè)正數(shù)解”等價(jià)于“雙曲線(xiàn)y1=

1

x

與y₂=3x-ax²的圖象在y軸右側(cè)只有一個(gè)交點(diǎn)”．
雙曲線(xiàn)y1=

1

x

在第一、三象限內(nèi)．
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)y₂=3x-ax²的開(kāi)口向下且過(guò)原點(diǎn)（0，0）及x軸正半軸上的點(diǎn)(

3

a

，0)，研究知，當(dāng)a＜2時(shí)，雙曲線(xiàn)y1=

1

x

與拋物線(xiàn)y₂=3x-ax²在第一象限內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a＞2時(shí)，兩曲線(xiàn)在第一象限無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)a=2進(jìn)，兩曲線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn)，故a=2符合題意．
當(dāng)a=0時(shí)，y₂=3x-ax²=3x為直線(xiàn)，此時(shí)，雙曲線(xiàn)y1=

1

x

與直線(xiàn)y₂=3x在第一象限內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)，故a=0符合題意．
當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)y₂=3x-ax²的開(kāi)口向上且過(guò)原點(diǎn)（0，0）及x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)(

3

a

，0)，此時(shí)，雙曲線(xiàn)y1=

1

x

與拋物線(xiàn)y₂=3x-ax²在第一象限內(nèi)僅有一個(gè)交點(diǎn)，故a＜0符合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]∪{2}．
故答案為：（-∞，0]∪{2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中根據(jù)函數(shù)的定義域，將分式方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．屬中檔題．