Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣a+lnx．
（Ⅰ）若a=1，求證：當x＞1時，f（x）＞2x﹣1；
（Ⅱ）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0 ， 求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：a=1時， ，

設 ，g'（x）在（1，+∞）遞增，又g'（1）=0，∴x＞1時g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）遞增，

x＞1時，g（x）＞g（1）=0，即ex+lnx﹣2x+1＞0，

x＞1時，ex+lnx＞2x﹣1，即f（x）＞2x﹣1…．

（Ⅱ）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，即

即存在x0≥e，使 ．

設 （x≥e），則 ，

設 ， 在[e，+∞）遞增，

，所以u＞0在[e，+∞）恒成立，h'（x）＞0在[e，+∞）恒成立，

所以h（x）在[e，+∞）遞增，所以x≥e時， ，

需ea＞eea＞e…．

【解析】（1）a=1時，化簡求出導數，設,,然后求解二次導數，求出導函數的最值，然后證明結論；（2）若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，即,即存在,使,設,求出導函數，設，通過函數的單調性求解函數的最值，推出結果,
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．