Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（I）證明：CD⊥AE；
（II）證明：PD⊥平面ABE；
（III）求二面角A-PD-C的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意利用線面PA⊥底面ABCD得線線PA⊥CD，進而得線面CD⊥平面PAC，即可得證；
（II）由題意可得AE⊥PC，由（I）知，AE⊥CD，進而得到AE⊥平面PCD，在由線線垂直得PD⊥平面ABE；
（III）因為AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則EM⊥PD．因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角，然后再在三角形中求出即可．
解答：解：（I）證明：在四棱錐P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
而AE?平面PAC，
∴AE⊥CD．
（II）證明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
∵E是PC的中點，∴AE⊥PC．
由（I）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又AB∩AE=A，綜上得PD⊥平面ABE．

（III）過點A作AM⊥PD，垂足為M，連接EM．
由（II）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則EM⊥PD．
因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角．
由已知，得∠CAD=30°．設(shè)AC=a，可得．
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM．PD=PA．AD．則．
在Rt△AEM中，．
所以二面角A-PD-C的大小是．
點評：此題重點考查了利用線面垂直得到線線垂直進而在得線面垂直再得線線垂直，利用二面角平面角的定義及射影的實質(zhì)，得到二面角的平面角并在三角形中解出角的大小，還考查了反三角函數(shù)的知識．