Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=1．
（Ⅰ） 求異面直線B₁C₁與AC所成角的大�。�
（Ⅱ） 若該直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為

2

2

，求點A到平面A₁BC的距離．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由BC∥B₁C₁，知∠ACB為異面直線B₁C₁與AC所成角（或它的補角），由此能求出異面直線B₁C₁與AC所成角．
（Ⅱ）設(shè)點A到平面A₁BC的距離為h，由三棱錐A₁-ABC的體積=三棱錐A-A₁BC的體積，利用等積法能求出點A到平面A₁BC的距離．

解答： 解：（Ⅰ）∵BC∥B₁C₁，
∴∠ACB為異面直線B₁C₁與AC所成角（或它的補角），（2分）
∵∠ABC=90°，AB=BC=1，∴∠ACB=45°，
∴異面直線B₁C₁與AC所成角為45°．（4分）
（Ⅱ）∵S_△ABC=

1

2

，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=S_△ABC×AA₁₌

2

2

∴AA₁₌

2

，A₁B=

3

（2分）
∵CB⊥平面ABB₁A₁，
∴∠A₁BC=90°，S_△A1BC=

3

2

（4分）
設(shè)點A到平面A₁BC的距離為h，
三棱錐A₁-ABC的體積V=

1

3

×S_△ABC×AA₁=三棱錐A-A₁BC的體積V=

1

3

×S_△A1BC×h，
解得h=

6

3

，
∴點A到平面A₁BC的距離為

6

3

．（8分）

點評：本題考查異面直線所成角的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．